Contenu du sommaire : Catégories, classification, complexité, consensus… Autour des travaux de Jean-Pierre Barthélemy

Ayant commencé ses activités de recherche par des travaux de mathématique « pure » en théorie des catégories, Jean-Pierre Barthélemy s'engage ensuite dans des directions bien différentes, relevant des mathématiques discrètes et de l'informatique et de leurs contributions à certaines problématiques des sciences humaines. Son premier travail dans ces nouvelles voies porte sur les procédures métriques d'agrégation et le principe de Pareto en théorie du consensus. Je présente ce travail et signale des prolongements effectués par lui ou par d'autres auteurs.

Cet hommage est l'occasion d'un retour mélancolique sur les thématiques qui nous ont occupés Jean-Pierre Barthélemy et moi au cours des années 1990 à Télécom Bretagne. Qu'elles se soient focalisées sur les rapports entre catégories naturelle et logique n'a rien de surprenant quand on sait que Jean-Pierre a été formé au sein de l'école française de théorie des catégories, et que ses premiers articles étaient consacrés à la logique catégorique naissante. C'est le cheminement de cette conception tout à fait spécifique du rapport entre logique et structures qui est évoqué ici à travers l'analyse d'une recherche dont il a été le bienveillant directeur.

Dans cet article, nous allons utiliser les représentations factorielles et arborées pour visualiser une partie des travaux de Jean-Pierre Barthélemy.Chercheur pendant quarante ans, Jean-Pierre Barthélemy aimait illustrer ses livres et ses articles par des classifications textuelles effectuées sur le vocabulaire des œuvres de Giraudoux ou celles plus polémiques de Molière et Corneille. Il était toujours étonné des résultats obtenus par les classifications automatiques dans le domaine textuel. Pour lui rendre hommage, nous avons réalisé plusieurs classifications d'une soixantaine de ses articles scientifiques en français ou en anglais, en fonction des thèmes de recherche. Pour réaliser ces classifications, nous avons utilisé l'outil BI-Qnomis, un logiciel pour l'analyse textuelle factorielle ainsi que les méthodes arborées que Jean-Pierre Barthélemy a contribué à populariser dans les années 1980.

Si Jean-Pierre Barthélemy est connu pour ses travaux en mathématiques, il s'est très tôt investi dans le domaine des sciences cognitives, et notamment pour la modélisation des processus de décision humains, en combinant des approches mathématiques et informatiques. Dans cet article nous proposons de discuter plus généralement des apports des modèles mathématiques et informatiques pour la modélisation en Sciences humaines et sociales. Nous montrerons comment le couplage entre ces deux méthodes a été particulièrement fructueux dans le cas des travaux de Jean-Pierre Barthélemy qui, dans le cadre d'une approche anthropocentrée, a proposé toute une série de modèles pour le jugement et la décision, à la fois mathématiques et computationnels.

À partir de jugements individuels sous forme de catégories (un profil de partitions sur un ensemble X), on cherche à établir des catégories collectives, ici appelées concepts. Nous comparons deux approches combinatoires. La première consiste à calculer une partition consensus, la médiane du profil, c'est-à-dire la partition de X dont la somme des distances aux jugements individuels est minimum ; les concepts sont alors les classes de cette partition consensus. La seconde commence par calculer une distance D sur X, basée sur le profil, et à construire un X arbre associé à D ; les concepts sont alors certains sous-arbres de cet X-arbre. Nous cherchons à comparer ces deux approches, à mesurer leur congruence, en particulier, dans quelle mesure les classes de la partition consensus, sont des sous-arbres du X-arbre et réciproquement.

Étant donnée une collection de relations d'équivalence (ou partitions), le problème de Régnier consiste à déterminer une relation d'équivalence qui minimise l'éloignement par rapport à . L'éloignement est fondé sur la distance de la différence symétrique et mesure le nombre de désaccords entre  et la relation d'équivalence considérée. Une telle relation d'équivalence minimisant l'éloignement est appelée une relation d'équivalence médiane de . On montre ici la NP-difficulté du problème de Régnier, c'est-à-dire du calcul d'une relation d'équivalence médiane d'une collection de relations d'équivalence, du moins quand le nombre de relations d'équivalence de est suffisamment grand.